Геометричните тела и повърхнината

Какво е геометрично тяло

Геометричното тяло е триизмерна фигура: има дължина, ширина и височина. За разлика от плоските фигури, тялото заема пространство. Кутията, топката, кубчето, консервата: всички те са примери за геометрични тела от ежедневието.

Тяло и фигура: разликата

Плоската фигура (квадрат, кръг) е двуизмерна: има само дължина и ширина, лежи в равнина. Тялото е триизмерно и излиза от равнината. Квадратът е фигура, а кубът е тяло; кръгът е фигура, а кълбото е тяло. Това е важно да се различава.

Елементи на тялото

Многостените тела имат стени (плоските им повърхности), ръбове (отсечките, където стените се срещат) и върхове (точките, където се събират ръбовете). Кубът например има 6 стени, 12 ръба и 8 върха. Тези елементи описват формата на тялото.

Кубът

Кубът е тяло с шест еднакви квадратни стени. Всичките му ръбове са равни, а всичките ъгли са прави. Заради тази правилност кубът е едно от най-симетричните тела. Зарчето за игра е чудесен пример за куб.

Правоъгълен паралелепипед

Правоъгълният паралелепипед е тяло, чиито стени са правоъгълници (като кутия за обувки). И той има 6 стени, 12 ръба и 8 върха, но стените му не са еднакви. Кубът всъщност е частен случай на паралелепипеда, при който всички ръбове са равни.

Други геометрични тела

Освен куба и паралелепипеда има и други тела: пирамида (със заострен връх), цилиндър (като консерва), конус (като фуния) и кълбо (като топка). Цилиндърът, конусът и кълбото имат заоблени повърхности, а не плоски стени.

Какво е повърхнина

Лицето на повърхнината е сборът от лицата на всички стени на тялото. То показва колко голяма е външната обвивка на тялото. Повърхнината ти трябва, когато искаш да боядисаш, опаковаш или облицоваш дадено тяло.

Повърхнина на куба

Кубът има 6 еднакви квадратни стени, затова повърхнината му е 6 пъти лицето на една стена. Ако ръбът е a, лицето на една стена е a на втора степен, а цялата повърхнина е 6 пъти по a на втора степен. За куб с ръб 2 cm повърхнината е 6·4 = 24 cm².

Повърхнина на паралелепипеда

При паралелепипеда стените са по двойки еднакви. Затова повърхнината е сборът от лицата на трите различни стени, умножен по две. Пресмятаме лицето на всяка двойка стени и ги събираме. Така намираме колко материал е нужен, за да обвием цялото тяло.

Развивка на тялото

Развивката е тялото, „разгънато" в равнина: всичките му стени, разположени плоско. Развивката на куба прилича на кръст от шест квадрата. Тя помага да видим всички стени наведнъж и да пресметнем повърхнината по-лесно, като сберем лицата им.

Връзка с обема

Не бъркай повърхнина с обем. Повърхнината е външната обвивка (колко да я обвием), а обемът е вместимостта (колко събира вътре). Обемът на паралелепипед е дължина по ширина по височина. Двете величини описват различни неща за едно и също тяло.

Тела около нас

Геометричните тела са навсякъде: кутиите са паралелепипеди, кутийките за напитки са цилиндри, сладоледената фунийка е конус, топките са кълба. Когато познаваш телата и повърхнините им, можеш да пресметнеш колко опаковъчна хартия или боя ще ти трябва.

Стъпка по стъпка: повърхнина на кутия

Имаме кутия с размери 5 cm, 3 cm и 2 cm. Стените са по двойки: 5·3, 5·2 и 3·2, тоест 15, 10 и 6 cm². Всяка двойка се брои два пъти: (15 + 10 + 6)·2 = 31·2 = 62 cm². Толкова хартия е нужна, за да обвием кутията напълно.

Обемът и вместимостта

Обемът на паралелепипед е дължина по ширина по височина. Той е свързан с вместимостта: тяло с обем 1 dm³ побира 1 литър течност. Затова, ако знаеш обема на аквариум, знаеш и колко вода събира. Обемът се мери в кубични единици (cm³, dm³, m³).

Развивка на паралелепипеда

Ако „разгънем" кутия в равнина, получаваме развивката ѝ: шест правоъгълника, свързани по ръбовете. По развивката лесно се вижда от колко и какви стени е изградено тялото. Затова производителите на опаковки първо чертаят развивката, после изрязват и сгъват картона.

Тела в опаковането

Геометричните тела са в основата на опаковането. Кутиите са паралелепипеди, защото лесно се подреждат без празно място. Кутийките за напитки са цилиндри. Когато познаваш повърхнините, можеш да пресметнеш колко материал е нужен и как да опаковаш икономично, без излишен разход.

Кратко обобщение

Геометричните тела са триизмерни (куб, паралелепипед, цилиндър и други) и имат стени, ръбове и върхове. Лицето на повърхнината е сборът от лицата на стените, а развивката помага да го пресметнем. Повърхнината (обвивката) се различава от обема (вместимостта).