Степените
Как да запишем 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 по-кратко? Със степен. Степените са умен начин да записваме повтарящо се умножение и огромни числа с малко знаци. Да ги овладеем.
Какво е степен
Степента е кратък запис на повтарящо се умножение на едно и също число. Вместо 3·3·3·3 пишем 3 на четвърта степен. Така спестяваме място и правим записа ясен. Степените са особено полезни при много големи числа.
Основа и степенен показател
В степента 3 на четвърта степен числото 3 е основата (числото, което умножаваме), а 4 е степенният показател (колко пъти го умножаваме). Записва се с малка цифра горе вдясно. Основата казва какво, показателят: колко пъти.
Как се пресмята степен
За да пресметнеш степен, умножаваш основата сама по себе си толкова пъти, колкото показва показателят. Например 2 на пета степен е 2·2·2·2·2 = 32. Внимавай: степента НЕ е умножение на основата по показателя. 2 на трета степен е 8, а не 6.
Квадрат и куб
Степента с показател 2 се нарича квадрат (5 на втора степен = 25), а с показател 3: куб (2 на трета степен = 8). Имената идват от геометрията: лицето на квадрат е страна на квадрат, а обемът на куб е ръб на куб. Затова тези степени се срещат толкова често.
Степени на числото 10
Степените на 10 са особено удобни: 10 на втора е 100, 10 на трета е 1000, 10 на шеста е 1 000 000. Показателят показва колко нули има след единицата. Затова с тях лесно записваме кръгли и големи числа.
Защо степените са полезни
Степените ни позволяват да записваме огромни числа компактно. Разстоянието до звездите, броят на клетките в тялото, паметта на компютъра: всичко това се изразява със степени. Без тях бихме изписвали редици от нули, които трудно се четат.
Умножение на степени с еднаква основа
Когато умножаваш степени с еднаква основа, основата остава същата, а показателите се събират. Например 2 на втора степен по 2 на трета степен е 2 на пета степен. Това е логично: умножаваме два пъти по две и три пъти по две, общо пет пъти.
Деление на степени с еднаква основа
При деление на степени с еднаква основа показателите се изваждат. Например 2 на пета степен делено на 2 на втора степен е 2 на трета степен. Това правило върви по двойка с правилото за умножението и се запомня заедно.
Ред на действията
Степенуването се извършва преди умножението, делението, събирането и изваждането (но след скобите). В израза 2 + 3 на втора степен първо смятаме 3 на втора (= 9), после прибавяме 2, и получаваме 11. Вниманието към реда на действията пази от грешки.
Степен на отрицателно число
Когато основата е отрицателна, знакът на резултата зависи от показателя. Четна степен дава положителен резултат, нечетна: отрицателен. Например (-2) на втора степен е 4, а (-2) на трета степен е -8. Това следва от правилото за знаците при умножение.
Степените в науката
Учените записват много големи и много малки числа със степени на 10. Светлинната година, броят на атомите, размерът на микроба: всичко това става кратко и удобно чрез степени. Затова степените са език на науката и техниката.
Чести грешки
Най-честата грешка е да умножиш основата по показателя: 2 на трета степен е 8, не 6. Внимавай и с реда на действията: степента се смята преди умножението. И помни знаците при отрицателна основа: четна степен дава плюс, нечетна: минус.
Степен с показател 1 и 0
Има две специални степени. Всяко число на първа степен е равно на самото себе си: 7 на първа степен е 7. А всяко число (различно от нула) на нулева степен е равно на 1: 5 на нулева степен е 1. Тези правила изглеждат странни, но следват логично от свойствата на степените.
Стъпка по стъпка: израз със степени
Да пресметнем 2 на четвърта степен + 3 на втора степен. Първо смятаме степените: 2 на четвърта е 16, 3 на втора е 9. После събираме: 16 + 9 = 25. Запомни реда: първо степенуване, после събиране. Ако объркаш реда, отговорът ще е грешен.
Свържи с геометрията
Степените и геометрията са свързани. Лицето на квадрат със страна a е a на втора степен (затова го наричаме квадрат). Обемът на куб с ръб a е a на трета степен (затова го наричаме куб). Така, щом смяташ лице или обем, всъщност използваш степени.
Кратко обобщение
Степента е кратък запис на повтарящо се умножение, с основа и показател. Квадрат е степен 2, куб е степен 3. При умножение на степени с еднаква основа показателите се събират, при деление: изваждат. Степените записват огромни числа кратко и са в основата на науката.
Пресметни 2 на пета степен, 10 на трета степен и 3 на втора степен. После реши израза 2 на трета степен + 5 (помни: първо степента). Накрая запиши 1000 като степен на 10.
Сега се упражни с играта
💡 Добре е да знаеш
Какво е степен?
Кратък запис на повтарящо се умножение на едно и също число.
Какво е основа и степенен показател?
Основата е числото, което умножаваме; показателят колко пъти го умножаваме.
Колко е 2 на трета степен?
8 (2·2·2); не 6 - степента не е умножение на основата по показателя.
Как умножаваме степени с еднаква основа?
Основата остава, а показателите се събират.
Каква е степента на отрицателно число?
Четна степен дава положителен резултат, нечетна - отрицателен.
🚀 Упражнявай се с над 800 игри по програмата на МОН
Започни безплатно, играй по темата и проследявай напредъка си.
Започни безплатно