Рационалните числа

Какво е рационално число

Рационалните числа са всички цели и дробни числа, които могат да бъдат положителни или отрицателни. Дотук работеше главно с числа над нулата. Сега към тях се добавят и числата под нулата. Заедно те образуват по-голямо и по-пълно множество от числа.

Положителни и отрицателни числа

Положителните числа са над нулата (3, 0,5, 12), а отрицателните са под нея и се пишат със знак минус (-3, -0,5, -12). Нулата не е нито положителна, нито отрицателна. Отрицателните числа описват реални неща: студ под нулата, дълг, дълбочина под морето.

Числовата ос

Рационалните числа се подреждат върху числова ос: права линия с нула в средата. Надясно от нулата са положителните, наляво: отрицателните. Колкото по-надясно е едно число, толкова по-голямо е то. Числовата ос ни помага да виждаме и сравняваме числата нагледно.

Противоположни числа

Всяко число има противоположно: число със същата стойност, но с обратен знак. Противоположното на 5 е -5, а на -8 е 8. На числовата ос двете стоят на еднакво разстояние от нулата, но от различните ѝ страни. Сборът на число и противоположното му винаги е нула.

Абсолютна стойност

Абсолютната стойност на едно число е разстоянието му до нулата, без значение на знака. Затова тя винаги е положителна или нула. Абсолютната стойност на -7 е 7, а на +7 също е 7. Записва се с две отвесни чертички: |-7| = 7.

Сравняване на рационални числа

На числовата ос по-голямо е числото, което стои по-надясно. Затова всяко положително число е по-голямо от всяко отрицателно, а нулата е между тях. Внимавай при отрицателните: -2 е по-голямо от -5, защото е по-близо до нулата. Колкото по-голямо е числото след минуса, толкова по-малко е самото число.

Събиране с еднакви знаци

Когато събираш числа с еднакви знаци, събираш стойностите им и оставяш общия знак. Например (-3) + (-4) = -7, а (+3) + (+4) = +7. Все едно вървиш в една и съща посока по числовата ос: разстоянията се натрупват.

Събиране с различни знаци

Когато знаците са различни, изваждаш по-малката стойност от по-голямата и вземаш знака на по-голямата по стойност. Например (-5) + 3 = -2, защото 5 е по-голямо и е с минус. А 5 + (-3) = 2. Все едно правиш крачки напред и назад: важна е разликата.

Изваждане на рационални числа

Изваждането се свежда до събиране: да извадиш едно число, означава да прибавиш противоположното му. Например 5 - (-3) = 5 + 3 = 8, а -4 - 2 = -4 + (-2) = -6. Затова, щом разбереш събирането, изваждането става лесно.

Умножение и деление

При умножение и деление гледаш само знаците по едно просто правило: еднакви знаци дават плюс, различни знаци дават минус. Затова (-2)·(-4) = 8, а (-2)·4 = -8. Същото важи и за делението. Стойностите умножаваш или делиш както обикновено.

Правилото за знаците

Запомни кратката таблица: (+)·(+) = +, (-)·(-) = +, (+)·(-) = -, (-)·(+) = -. С две думи: еднакви знаци: плюс, различни знаци: минус. Това правило решава всички задачи с умножение и деление на рационални числа.

Рационалните числа в живота

Отрицателните числа са навсякъде около теб. Термометърът показва -5 градуса зиме; асансьорът слиза на етаж -2 (подземен паркинг); банковата сметка може да е на минус при дълг. Дори в спорта има голова разлика плюс или минус. Затова е важно да смяташ уверено и под нулата.

Чести грешки

Внимавай при сравняване на отрицателни числа: -10 е по-малко от -2, а не обратното. Не бъркай и знаците при умножение: минус по минус дава плюс. И помни, че абсолютната стойност никога не е отрицателна. Тези три неща са най-честите капани.

Стъпка по стъпка: дълъг израз

Да пресметнем (-3) + 5 - (-2). Първо превръщаме изваждането в събиране на противоположното: (-3) + 5 + 2. После събираме отляво надясно: (-3) + 5 = 2, а 2 + 2 = 4. Резултатът е 4. Подреденото смятане стъпка по стъпка пази от грешки при дълги изрази с много знаци.

Свържи с координатната система

Отрицателните числа правят координатната система пълна: по оста наляво и надолу стоят отрицателните стойности. Затова можем да поставяме точки като (-3, 2) или (1, -4). Без рационалните числа щяхме да работим само в едно ъгълче на равнината. Те разширяват математиката във всички посоки.

Кратко обобщение

Рационалните числа са цели и дробни, положителни и отрицателни. Подреждат се на числова ос (надясно по-големи). При събиране гледаш знаците, изваждането е събиране с противоположното, а при умножение и деление: еднакви знаци дават плюс, различни: минус. Това е основата за цялата математика нататък.