Осева симетрия: огледалната точка
Погледни се в огледало. Лявата и дясната половина на лицето ти си приличат, все едно през средата минава невидима линия. Тази линия се нарича ос на симетрия, а образът в огледалото е симетричната ти точка. В шести клас учиш как точно се намира симетрична точка спрямо права, спрямо оста Ox, оста Oy и началото на координатната система.
Какво е симетрична точка спрямо права
Точка A' е симетрична на точка A спрямо права p, ако правата p минава точно през средата на отсечката AA' и е перпендикулярна на нея. С други думи, p е като огледало: разстоянието от A до p е равно на разстоянието от A' до p, само че от другата страна. Правата p се нарича ос на симетрия.
Ос на симетрия на фигура
Фигура има ос на симетрия, ако можеш да я прегънеш по тази права и двете половини да съвпаднат точно. Пеперудените крила, човешкото лице (приблизително) и много букви - А, М, Н, Т - имат ос на симетрия. Ако прегънеш лист с нарисувана буква А по средата, двете половини лягат една върху друга. Не всяка фигура има такава ос: неправилен многоъгълник обикновено няма.
Симетрична точка спрямо оста Ox
В координатна система оста Ox е позната ос на симетрия. Точката, симетрична на A(x, y) спрямо Ox, има същата абсциса, а ординатата ѝ сменя знак: (x, y) → (x, −y). Точка A(3, 5) има симетрична точка (3, −5): все едно оста Ox е огледало, обърнато нагоре-надолу.
Симетрична точка спрямо оста Oy
Спрямо оста Oy правилото е обратното: ординатата остава същата, а абсцисата сменя знак: (x, y) → (−x, y). Точка A(3, 5) има симетрична точка (−3, 5). Тук огледалото е оста Oy, обърната наляво-надясно.
Симетрична точка спрямо началото O
Има и трети случай: симетрия спрямо самата точка, не спрямо права. Когато точката е началото O(0, 0) на координатната система, двете координати сменят знак едновременно: (x, y) → (−x, −y). Точка A(3, 5) има симетрична спрямо O точка (−3, −5). Това се нарича централна симетрия: A, O и симетричната точка лежат на една права, а O е точно по средата.
Решен пример
Дадена е точка B(−4, 2). Намери симетричните ѝ точки спрямо Ox, спрямо Oy и спрямо O. Спрямо Ox: сменяш знака само на ординатата → (−4, −2). Спрямо Oy: сменяш знака само на абсцисата → (4, 2). Спрямо O: сменяш знаците на двете координати → (4, −2). Забележи, че и трите отговора са различни точки, защото B не лежи на никоя от осите.
Честа грешка
Най-честата грешка е да размениш коя координата сменя знак. Запомни го просто: при симетрия спрямо Ox (хоризонталната ос) сменя се ординатата (втората); при симетрия спрямо Oy (отвесната ос) сменя се абсцисата (първата). Спрямо началото O сменят се и двете едновременно.
Как построяваш симетрична точка с линийка
Формулите с координати работят само за Ox, Oy и началото. Но има и общ начин, който важи за всяка права p, дори наклонена: спускаш перпендикуляр от точката A до правата p и измерваш разстоянието до пресечната точка. После отмерваш точно същото разстояние от другата страна на p, по продължение на същия перпендикуляр - там е симетричната точка A'. Тази техника с линийка и ъгълник работи навсякъде, не само в координатна система, и точно тя стои зад определението за симетрична точка спрямо права.
Симетрията около нас
Огледалата, тихите езера, някои сгради и почти всички живи същества показват симетрия. Дизайнерите я използват съзнателно, защото окото я възприема като подредена и приятна. В математиката симетрията не е просто украса: тя помага да пресмятаме по-бързо и да разбираме по-добре формата на графики и фигури.
Начертай координатна система и постави точка C(2, −4). Намери и постави симетричните ѝ точки спрямо Ox, спрямо Oy и спрямо началото O. После провери с огледало: постави го по оста Oy и виж дали отражението съвпада с точката, която пресметна.
Сега се упражни с играта
💡 Добре е да знаеш
Какво означава точка да е симетрична на друга спрямо права?
Правата минава точно през средата на отсечката между двете точки и е перпендикулярна на нея - като огледало.
Как намирам симетричната точка спрямо оста Ox?
Абсцисата остава същата, а ординатата сменя знак: (x, y) → (x, −y).
Как намирам симетричната точка спрямо оста Oy?
Ординатата остава същата, а абсцисата сменя знак: (x, y) → (−x, y).
Какво е централна симетрия спрямо началото O?
И двете координати сменят знак едновременно: (x, y) → (−x, −y). Точката, началото и симетричната ѝ точка лежат на една права.
Кои фигури имат ос на симетрия?
Много правилни фигури - квадрат, равностранен триъгълник - и предмети от природата, като пеперудени крила и листа.
В края на 7. клас те очаква НВО по български език и литература и по математика. Резултатите влизат в бала за прием в 8. клас. Виж кога е и какви задачи има.
🚀 Упражнявай се с над 1000 игри по програмата на МОН
Започни безплатно, играй по темата и проследявай напредъка си.
Започни безплатно