Отношения и пропорции
Ако две ябълки струват 1 евро, колко струват шест? Този въпрос се решава с отношения и пропорции. Те свързват числата помежду им и са скрити в рецепти, карти и цени. Да ги разберем.
Какво е отношение
Отношението сравнява две числа чрез деление: колко пъти едното се съдържа в другото. Отношението на 6 към 2 показва, че 6 е три пъти по-голямо от 2. Така отношението изразява връзка, а не просто стойност.
Записване на отношение
Отношението се записва с две точки: 6 : 2, и се чете „6 към 2". Може да се запише и като дробно число. Двете числа се наричат членове на отношението. Редът има значение: 6 : 2 не е същото като 2 : 6.
Съкращаване на отношение
Отношението може да се съкрати, като разделим двата му члена на едно и също число, точно както при дробите. Отношението 6 : 2 е равно на 3 : 1. Съкратеното отношение е по-просто, но изразява същата връзка между числата.
Какво е пропорция
Пропорцията е равенство на две отношения. Например 2 : 4 = 3 : 6, защото и двете отношения са равни на 1 : 2. Пропорцията свързва четири числа и често едно от тях е неизвестно, което трябва да намерим.
Кръстосано произведение
В една вярна пропорция кръстосаните произведения са равни: при a : b = c : d важи a·d = b·c. Това правило е много полезно: с него проверяваме дали пропорцията е вярна и намираме неизвестен член.
Намиране на неизвестен член
Ако в пропорция един член е неизвестен, го намираме чрез кръстосаното произведение. Например в 2 : 4 = x : 10 имаме 2·10 = 4·x, тоест 20 = 4x, значи x = 5. Така пропорцията решава задачи с неизвестно бързо и сигурно.
Права пропорционалност
При правата пропорционалност, когато едната величина расте, другата расте също толкова пъти. Повече килограми ябълки означават пропорционално повече евро. Колкото повече купуваш, толкова повече плащаш: това е права пропорционалност.
Обратна пропорционалност
При обратната пропорционалност, когато едната величина расте, другата намалява толкова пъти. Например колкото повече работници има, толкова по-малко време отнема една работа. Повече от едното означава по-малко от другото.
Мащабът като отношение
Мащабът на картата е отношение между разстоянието на картата и реалното разстояние. Мащаб 1 : 100 000 означава, че 1 cm на картата е 100 000 cm (тоест 1 km) в действителност. Така отношенията ни помагат да четем карти и планове.
Процентите като отношение
Процентът също е отношение: сравнение с числото 100. 25% означава отношение 25 : 100, тоест 1 : 4. Затова задачите с проценти често се решават като пропорции. Отношенията, пропорциите и процентите са тясно свързани.
Отношения в живота
Отношенията са навсякъде. В рецептата брашното и водата са в определено отношение; на картата мащабът е отношение; в цените съотношението количество и пари е пропорция. Дори когато сравняваш две оценки или два резултата, използваш отношения.
Чести грешки
Внимавай с реда на членовете: 3 : 2 не е същото като 2 : 3. Не бъркай и правата с обратната пропорционалност: при едната двете величини растат заедно, при другата едната расте, а другата намалява. И винаги проверявай с кръстосаното произведение.
Стъпка по стъпка: намери неизвестния член
Да решим пропорцията 3 : 4 = x : 20. По правилото за кръстосаното произведение: 3·20 = 4·x, тоест 60 = 4x. Делим на 4: x = 15. Винаги започвай с кръстосаното произведение, после решавай полученото уравнение. Така всяка пропорция с неизвестно се решава по един и същ начин.
Разделяне в дадено отношение
Да разделим 12 бонбона в отношение 1 : 2 между двама. Общо частите са 1 + 2 = 3. Едната порция е 12 : 3 = 4 (тоест 1 част), другата е 8 (тоест 2 части). Проверка: 4 + 8 = 12. Така отношенията помагат да разпределим справедливо според уговорка.
Отношение в рецепта
В рецепта брашното и водата често са в отношение 2 : 1. Ако сложиш 200 g брашно, водата трябва да е 100 g. Удвоиш ли рецептата (400 g брашно), удвояваш и водата (200 g), за да запазиш отношението. Затова добрите готвачи мислят с отношения.
Свържи с процентите
Процентът е отношение с числото 100. Затова задачите с проценти често се решават като пропорции. Например „колко е 20% от 50?" става пропорция 20 : 100 = x : 50, откъдето x = 10. Отношенията, пропорциите и процентите са едно семейство.
Кратко обобщение
Отношението сравнява две числа чрез деление, а пропорцията е равенство на две отношения. В пропорцията кръстосаните произведения са равни, което помага да намерим неизвестен член. Има права и обратна пропорционалност. Отношенията живеят в рецепти, карти, цени и проценти.
Раздели 15 бонбона в отношение 2 : 3 между двама (намери частта, после порциите). После реши пропорцията 4 : 5 = x : 20 с кръстосано произведение. Провери дали отговорът пасва.
Сега се упражни с играта
💡 Добре е да знаеш
Какво е отношение?
Сравнение на две числа чрез деление; записва се например 6 : 2.
Какво е пропорция?
Равенство на две отношения, например 2 : 4 = 3 : 6.
Какво е кръстосано произведение?
При a : b = c : d важи a·d = b·c; с него намираме неизвестен член.
Каква е разликата между права и обратна пропорционалност?
При правата двете величини растат заедно; при обратната едната расте, а другата намалява.
Какво е мащаб?
Отношение между разстоянието на картата и реалното разстояние (например 1 : 100 000).
🚀 Упражнявай се с над 800 игри по програмата на МОН
Започни безплатно, играй по темата и проследявай напредъка си.
Започни безплатно