Едночлени и многочлени

Защо многочлените са важни за НВО

В седми клас алгебрата прави голяма крачка напред. Многочлените са в основата на повечето задачи от националното външно оценяване (НВО). Който ги владее, се справя и с уравненията, неравенствата и геометричните задачи. Затова си струва да им отделиш специално внимание.

Какво е едночлен

Едночленът е израз, който е произведение на число и една или повече променливи (букви) на естествена степен. Например 3x, -5a²b и 7 са едночлени. Едночленът няма знаци плюс или минус между отделни части: той е едно цяло произведение.

Коефициент и буквена част

Всеки едночлен има числов коефициент (числото отпред) и буквена част (променливите). В едночлена -5a²b коефициентът е -5, а буквената част е a²b. Когато коефициентът е 1, обикновено не се пише: x означава 1·x.

Степен на едночлен

Степента на едночлена е сборът от степенните показатели на променливите му. Едночленът 3x²y има степен 2 + 1 = 3. Степента е важна, защото по нея подреждаме и сравняваме едночлените в многочлена.

Подобни едночлени

Подобни са едночлените с еднаква буквена част (различават се само по коефициента): 4x²y и -7x²y са подобни. Подобните едночлени могат да се събират и изваждат: 4x²y - 7x²y = -3x²y. Това е основно умение при работа с многочлени.

Какво е многочлен

Многочленът е сбор от няколко едночлена. Например 2x² + 3x - 5 е многочлен от три члена (тричлен). Многочленът с два члена е двучлен, а с един: едночлен. Многочлените изразяват по-сложни зависимости от едно число.

Привеждане в нормален вид

Многочленът е в нормален вид, когато подобните му членове са събрани и членовете са подредени по намаляваща степен. Например 3x + 2x² - 5 + x се привежда към 2x² + 4x - 5. Привеждането прави многочлена ясен и удобен за работа.

Степен на многочлен

Степента на многочлена е най-високата степен сред едночлените му. Многочленът 2x² + 4x - 5 е от втора степен. По степента разпознаваме вида на многочлена и какви задачи можем да решаваме с него.

Събиране на многочлени

За да съберем два многочлена, събираме подобните им членове. Например (2x² + 3x) + (x² - x) = 3x² + 2x. Просто прибавяме всичко и привеждаме в нормален вид. Внимавай да събираш само подобни членове.

Изваждане на многочлени

При изваждане сменяме знаците на всички членове на втория многочлен и после събираме: (2x² + 3x) - (x² - x) = 2x² + 3x - x² + x = x² + 4x. Най-честата грешка е да забравиш да смениш всички знаци след скобата.

Умножение на едночлен с многочлен

Едночлен се умножава с многочлен, като се умножи по всеки член на многочлена (разпределителен закон): 2x(x + 3) = 2x² + 6x. Това е едно от най-използваните действия в алгебрата.

Умножение на многочлен с многочлен

Многочлен се умножава с многочлен, като всеки член на първия се умножи по всеки член на втория, после се привежда: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Подреденото умножаване пази от пропуснати членове.

Степенуване на едночлени

При степенуване на едночлен се степенуват и коефициентът, и всяка променлива: (2x²)³ = 2³·x⁶ = 8x⁶. Тук важат правилата за степените: при умножение на степени с еднаква основа показателите се събират.

Какво е разлагане на множители

Разлагането на множители е обратното на умножението: представяме многочлена като произведение. Например 2x² + 6x = 2x(x + 3). Разлагането е изключително важно за НВО: чрез него се решават уравнения и се опростяват изрази.

Изнасяне на общ множител

Най-простият начин за разлагане е изнасяне на общ множител пред скоба: в 6x² - 9x общият множител е 3x, затова 6x² - 9x = 3x(2x - 3). Винаги първо търси какво е общо за всички членове.

Чести грешки

Внимавай: при изваждане смени знаците на целия втори многочлен; събирай само подобни членове; не бъркай 2x² с (2x)². При степенуване степенувай и коефициента. Тези грешки са най-чести и на НВО, затова си струва да внимаваш.

Многочлените в реалния свят

Многочлените не са само абстракция: с тях се описват площи, обеми, движения, цени. Лицето на правоъгълник със страни x и x + 3 е x(x + 3) = x² + 3x: точно многочлен. Затова алгебрата е език, с който описваме реалния свят.

Защо ги изучаваме

Едночлените и многочлените са азбуката на алгебрата. Върху тях стъпват формулите за съкратено умножение, уравненията и неравенствата. Доброто им владеене е сред най-важните стъпки към успеха на НВО и в гимназията.

Деление на многочлен на едночлен

Многочлен се дели на едночлен, като всеки член на многочлена се раздели на едночлена: (6x² + 9x) : 3x = 2x + 3. Това действие е възможно, когато всеки член се дели на едночлена, и е обратното на умножението на едночлен с многочлен. Внимавай със знаците на отделните частни.

Числена стойност на многочлен

Ако заместим променливата с число, получаваме числената стойност на многочлена. За многочлена x² + 2x при x = 3 стойността е 9 + 6 = 15. Това е полезно за проверка: ако два израза са тъждествени, дават еднаква стойност при всяко заместване.

Кратко обобщение

Едночленът е произведение на число и променливи; има коефициент, буквена част и степен. Подобните едночлени се събират. Многочленът е сбор от едночлени, привежда се в нормален вид. Умножаваме по разпределителния закон, а разлагането (изнасяне на общ множител) е обратното на умножението.