Питагоровата теорема: връзката между трите страни
Начертай правоъгълен триъгълник, измери трите му страни и повдигни всяка на квадрат. Ще откриеш връзка, която важи за всеки правоъгълен триъгълник на света. Точно нея е описал Питагор преди повече от две хиляди години.
Какво казва теоремата
Питагоровата теорема свързва трите страни на правоъгълен триъгълник - триъгълник с един прав ъгъл (90°). Тя гласи:
a² + b² = c²
С думи: квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на двата катета.
Кои са катетите и хипотенузата
Катетите са двете страни, които образуват правия ъгъл. Хипотенузата е страната срещу правия ъгъл и винаги е най-дългата.
Как намираме хипотенузата
Катетите са 3 и 4. Колко е хипотенузата?
Как намираме катет
Ако знаем хипотенузата и единия катет, преместваме формулата. Хипотенуза 13 и катет 5:
b² = c² − a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, откъдето b = √144 = 12.
Забележи разликата: когато търсиш хипотенузата, събираш квадратите; когато търсиш катет, изваждаш. Ако объркаш и събереш при търсене на катет, отговорът ще излезе по-голям от хипотенузата, което е невъзможно - хипотенузата винаги е най-дългата страна. Това е добра бърза проверка.
Защо работи теоремата
„Квадрат на страна“ означава буквално квадрат, построен върху нея. Ако начертаеш квадратчета върху трите страни на правоъгълен триъгълник, площта на големия квадрат (върху хипотенузата) е точно колкото площите на двата по-малки, взети заедно. При тройката 3, 4, 5 това са 9 + 16 = 25 квадратчета. Затова теоремата е равенство между лица, а не просто формула за наизустяване.
Питагоровите тройки
Някои правоъгълни триъгълници имат само цели числа за страни. Полезно е да помниш най-честите - спестяват сметки:
3, 4, 5 · 5, 12, 13 · 8, 15, 17 · 7, 24, 25. Всяко тяхно кратно също работи, например 6, 8, 10 или 9, 12, 15.
Повечето триъгълници обаче не дават кръгло число. Ако катетите са 2 и 3, то c² = 4 + 9 = 13, а √13 не е цяло число (около 3,6). Тогава отговорът се оставя като √13 или се закръгля според задачата. Кръглите резултати са изключение, а не правило - тройките просто ги правят удобни за упражнение.
Обратната теорема: проверка за прав ъгъл
Теоремата работи и наопаки. Ако за три страни е изпълнено a² + b² = c², триъгълникът е правоъгълен. Строители и дърводелци използват тройката 3-4-5, за да проверят дали един ъгъл е точно 90°: измерват 3 единици по едната страна и 4 по другата, и ако разстоянието между краищата е точно 5, ъгълът е прав.
Питагор около нас
Стълба, подпряна на стена, образува правоъгълен триъгълник със земята - от височината и разстоянието до стената пресмяташ дължината ѝ. Диагоналът на телевизора (тези „55 инча“) е хипотенузата на екрана. А най-късият път през правоъгълен парк минава по хипотенузата.
Пример: стълба стои на 1,5 метра от стената и стига до 2 метра височина. Колко е дълга? c² = 1,5² + 2² = 2,25 + 4 = 6,25, значи c = √6,25 = 2,5 метра. Същата теорема работи и с дробни числа, стига триъгълникът да е правоъгълен.
Измери широчината и височината на лист А4 в сантиметри, пресметни √(a² + b²) и после измери диагонала с линийка. Числата трябва да съвпаднат - това е Питагоровата теорема на дело.
Сега се упражни с играта
💡 Добре е да знаеш
В кой клас се учи Питагоровата теорема?
По действащата програма на МОН - в 7. клас, в частта по геометрия. В по-стари програми е била в 8. клас, затова онлайн се среща и така.
Каква е формулата на Питагоровата теорема?
a² + b² = c², където a и b са катетите, а c е хипотенузата на правоъгълния триъгълник.
Само за правоъгълни триъгълници ли важи?
Да. Теоремата важи единствено при триъгълник с прав ъгъл (90°). Вярно е и обратното: ако a² + b² = c², триъгълникът е правоъгълен.
Как се намира катет, а не хипотенуза?
Изваждаш: катет² = хипотенуза² − другия катет². Например при хипотенуза 13 и катет 5: √(169 − 25) = √144 = 12.
Кои са най-известните Питагорови тройки?
3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 и 7-24-25, заедно с всичките им кратни, например 6-8-10.
🚀 Упражнявай се с над 900 игри по програмата на МОН
Започни безплатно, играй по темата и проследявай напредъка си.
Започни безплатно