Системите уравнения

Две условия наведнъж

Понякога задачата има две неизвестни, но и две условия, които трябва да са изпълнени едновременно. Тогава не едно, а две уравнения работят заедно: това е система уравнения. Тя е като два намека, които поотделно не стигат, но заедно посочват единствения отговор.

Какво е система уравнения

Системата уравнения е група от две или повече уравнения с общи неизвестни, които трябва да са в сила едновременно. Решение на системата са стойностите на неизвестните, които изпълняват всички уравнения наведнъж. Търсим не кое да е решение, а общото за всички.

Система линейни уравнения с две неизвестни

Най-простата система е от две линейни уравнения с две неизвестни (x и y). Всяко уравнение поотделно има безброй решения (двойки x, y), но системата търси двойката, която изпълнява и двете. Тази двойка обикновено е единствена. Това е основният тип в девети клас.

Метод на заместване

Първи начин за решаване е методът на заместване: от едното уравнение изразяваме едно неизвестно чрез другото, после го заместваме във второто уравнение. Така оставаме с едно уравнение с едно неизвестно, което решаваме. Накрая намираме и второто неизвестно. Прост и сигурен подход.

Метод на събиране (изключване)

Втори начин е методът на събиране (изключване): умножаваме уравненията така, че при събиране едно от неизвестните да се унищожи. Остава едно уравнение с едно неизвестно. Този метод е особено удобен, когато коефициентите лесно се изравняват. Двата метода дават един и същ отговор.

Кой метод да избера

Изборът зависи от вида на системата. Заместването е удобно, когато едно неизвестно вече е изразено или лесно се изразява. Събирането е удобно, когато коефициентите пред едно неизвестно са еднакви или противоположни. С практика бързо усещаш кой метод е по-кратък.

Графично решение

Системата линейни уравнения има и графичен смисъл: всяко уравнение е права линия, а решението е точката, в която двете прави се пресичат. Координатите на пресечната точка са решението. Това дава нагледна представа защо обикновено решението е единствено.

Брой решения

Системата може да има едно решение (правите се пресичат), безброй решения (правите съвпадат) или няма решение (правите са успоредни и не се срещат). Така геометрията обяснява и трите възможности. В повечето задачи системата има точно едно решение.

Системи от втора степен

В девети клас изучаваме и системи уравнения от втора степен с две неизвестни: в тях поне едно уравнение съдържа квадрат. Те се решават най-често чрез заместване, като свеждаме задачата до квадратно уравнение. Такива системи могат да имат и повече от едно решение.

Проверка на решението

Винаги проверявай намереното решение: замести стойностите на x и y в двете уравнения и виж дали и двете са изпълнени. Ако едно от тях не излиза, някъде има грешка. Проверката отнема секунди и те предпазва от грешен отговор, особено при системите от втора степен.

Текстови задачи със системи

Много житейски задачи се решават със системи: задачи за смеси, движение, покупки, възрасти. Превеждаме условието на език на уравненията (две неизвестни, две условия), решаваме системата и тълкуваме отговора. Така абстрактният метод се превръща в практичен инструмент.

Пример

Сборът на две числа е 10, а разликата им е 4. Записваме: x + y = 10 и x − y = 4. Със събиране: 2x = 14, значи x = 7, тогава y = 3. Проверка: 7 + 3 = 10 и 7 − 3 = 4: вярно. Системата превърна две условия в един ясен отговор.

Защо ги учим

Системите уравнения са мощен инструмент: винаги когато няколко величини са свързани с няколко условия, ги намираме чрез система. Те се ползват в икономиката, физиката, инженерството, програмирането. Освен това развиват логическо и подредено мислене: умение, полезно навсякъде.

Около нас

Системи се крият в ежедневни задачи: „две кафета и един чай струват X, а едно кафе и два чая струват Y: колко е едно кафе?". Опитай да съставиш система за проста задача с две неизвестни и я реши с любимия си метод. После провери отговора в двете уравнения.

Защо две уравнения за две неизвестни

Едно уравнение с две неизвестни има безброй решения. За да определим точно две неизвестни, ни трябват две независими условия, тоест две уравнения. Като общо правило: за n неизвестни трябват n уравнения. Затова системите са естественият начин да намерим няколко свързани величини едновременно.

Независими и зависими уравнения

Ако едното уравнение всъщност повтаря другото (например е негов кратен), те не са независими и системата има безброй решения. За единствено решение уравненията трябва да носят различна информация. Това обяснява случая, когато правите съвпадат: едно и също условие, записано два пъти.

Системи с три неизвестни

Идеята се разширява и за повече неизвестни: система от три уравнения с три неизвестни. Решава се със същите методи (заместване и изключване), стъпка по стъпка намаляваме неизвестните. Принципът остава: толкова уравнения, колкото неизвестни. Така системите растат с нуждите на задачата.

Кратко обобщение

Системата уравнения е група уравнения с общи неизвестни, в сила едновременно; решението изпълнява всички. Линейните системи с две неизвестни се решават със заместване или събиране (изключване); графично решението е пресечната точка на две прави. Брой решения: едно (пресичащи се), безброй (съвпадащи), няма (успоредни). Има и системи от втора степен. Винаги проверявай решението. Прилагат се в текстови задачи за смеси, движение и покупки.