Квадратната функция
Защо струята на фонтана и пътят на хвърлена топка описват една и съща крива? Защото се подчиняват на квадратната функция. Нейната графика, параболата, е навсякъде в природата.
Кривата, която е навсякъде
Струята на фонтана, пътят на хвърлена топка, формата на сателитна чиния: всички описват една и съща крива, параболата. Тя е графиката на квадратната функция: една от най-важните функции в математиката, която изучаваме задълбочено в девети клас.
Какво е функция
Преди това да си припомним: функцията е правило, което на всяка стойност на x съпоставя точно една стойност на y. Линейната функция y = ax + b дава права линия. Квадратната функция е следващата стъпка: тя дава крива, не права.
Общ вид на квадратната функция
Квадратната функция има вида y = ax² + bx + c, където a, b, c са числа и задължително a ≠ 0. Характерното е наличието на x² (неизвестно на втора степен). Ако a беше 0, x² изчезва и функцията става линейна, затова условието a ≠ 0 е важно.
Графиката е парабола
Графиката на квадратната функция е парабола: плавна симетрична крива. Тя има най-ниска или най-висока точка и две рамена, които се издигат или спускат симетрично. Параболата е напълно различна от правата линия на линейната функция. Тя е красива и закономерна.
Посока на клоните
Знакът на a определя посоката на параболата. Ако a > 0, клоните сочат нагоре (параболата е като чаша) и функцията има най-малка стойност. Ако a < 0, клоните сочат надолу (като купол) и функцията има най-голяма стойност. Това е първото, което гледаме.
Връх на параболата
Най-важната точка на параболата е върхът: най-ниската ѝ точка (при a > 0) или най-високата (при a < 0). Във върха функцията достига своята най-малка или най-голяма стойност. Около върха параболата е симетрична: затова той е нейният център.
Ос на симетрия
През върха минава вертикална ос на симетрия: права, спрямо която двете рамена на параболата са огледални. Каквото се случва отляво на оста, се повтаря симетрично отдясно. Тази симетрия е една от най-красивите особености на квадратната функция и улеснява чертането.
Най-голяма и най-малка стойност
Заради върха квадратната функция има екстремум: при a > 0 има най-малка стойност (в най-ниската точка), при a < 0 има най-голяма стойност (в най-високата). Това е много полезно в практиката, когато търсим например най-голяма площ или най-малък разход.
Нули на функцията
Нулите на функцията са стойностите на x, при които y = 0: точките, в които параболата пресича оста Ox. За да ги намерим, решаваме квадратното уравнение ax² + bx + c = 0. Параболата може да пресича Ox в две точки, да я допира в една или изобщо да не я пресича.
Пресичане с оста Oy
Параболата пресича вертикалната ос Oy в точката, където x = 0. Тогава y = c. Значи свободният член c показва къде графиката пресича оста Oy. Това е лесна за намиране точка, която помага бързо да разположим параболата в координатната система.
Връзка с квадратното уравнение
Квадратната функция е тясно свързана с квадратното уравнение (от осми клас). Решенията на ax² + bx + c = 0 са точно нулите на функцията. Затова уменията от квадратните уравнения (дискриминанта, формула за корените) ни трябват и тук. Темите се надграждат естествено.
Как се чертае парабола
За да начертаеш парабола: 1) определи посоката по знака на a; 2) намери върха и оста на симетрия; 3) намери нулите (пресичането с Ox) и точката с Oy; 4) свържи точките с плавна крива. С тези опорни точки чертежът става точен и лесен.
Защо я учим
Квадратната функция описва множество реални явления: хвърлени тела (физика), печалба и разходи (икономика), формата на мостове, антени и фарове. Задачите за най-голяма или най-малка стойност (оптимизация) се решават точно с нея. Затова тя е сред най-приложните функции.
Около нас
Параболи виждаш навсякъде: струята на чешма, траекторията на баскетболна топка, отражателят на фенерче, сателитната чиния. Опитай да хвърлиш топка и проследи кривата, която описва: това е парабола. После начертай графиката на y = x² по няколко точки и виж формата ѝ.
Най-простата парабола
Най-простата квадратна функция е y = x². Нейната парабола има връх в началото (0; 0) и е симетрична спрямо оста Oy. Всички останали параболи са нейни „роднини": разтегнати, свити или преместени. Започвай от y = x², за да разбереш по-сложните случаи.
Преместване на параболата
Числата b и c местят параболата в равнината, без да менят формата ѝ. Свободният член c я повдига или сваля по оста Oy. Така една и съща по форма парабола може да стои на различни места. Това помага бързо да си представиш графиката, без да чертаеш всяка точка.
Дискриминанта и нули
Колко нули има функцията, се вижда от дискриминантата на уравнението ax² + bx + c = 0. Ако тя е положителна, има две нули (парабола пресича Ox в две точки); ако е нула, има една (допира Ox); ако е отрицателна, няма нули (не докосва Ox). Това свързва алгебра и геометрия.
Кратко обобщение
Квадратната функция е y = ax² + bx + c при a ≠ 0; графиката ѝ е парабола. Знакът на a дава посоката: a > 0 (нагоре, най-малка стойност), a < 0 (надолу, най-голяма стойност). Има връх, ос на симетрия и екстремум. Нулите (пресичане с Ox) се намират от уравнението ax² + bx + c = 0; с Oy пресича в y = c. Описва хвърлени тела, оптимизация и много реални явления.
Начертай графиката на y = x² по точки (x = −2, −1, 0, 1, 2) и виж параболата. После за y = −x² виж, че клоните сочат надолу. Определи за y = 2x² − 3 каква е посоката (a > 0 → нагоре) и къде пресича Oy (в y = −3).
Сега се упражни с играта
💡 Добре е да знаеш
Кой е общият вид на квадратната функция?
y = ax² + bx + c, при a ≠ 0.
Как се нарича графиката ѝ?
Парабола.
Какво показва знакът на a?
Посоката на параболата: a > 0 е нагоре (с минимум), a < 0 е надолу (с максимум).
Какво са нулите на функцията?
Стойностите на x, при които y = 0; пресечните точки с оста Ox.
Къде параболата пресича оста Oy?
В точката y = c (когато x = 0).
🚀 Упражнявай се с над 900 игри по програмата на МОН
Започни безплатно, играй по темата и проследявай напредъка си.
Започни безплатно