Подобните триъгълници

Една и съща форма, различен размер

Снимка и нейното увеличение, карта и истинската местност, модел и истинска кола: едни и същи форми в различни размери. Това е подобието. В геометрията то се изучава най-вече при триъгълниците и е една от най-практичните теми в девети клас.

Какво са подобни фигури

Подобни са фигурите, които имат еднаква форма, но (обикновено) различен размер: едната е увеличено или смалено копие на другата. Всички ъгли се запазват, а всички разстояния се променят с един и същ коефициент. Подобието пази формата, но мени мащаба.

Кога два триъгълника са подобни

Два триъгълника са подобни, когато имат съответно равни ъгли и пропорционални съответни страни. Двете условия вървят заедно: ако ъглите са равни, страните автоматично са пропорционални, и обратно. Това е определението, на което стъпва цялата тема.

Коефициент на подобие

Коефициентът на подобие k е числото, което показва колко пъти единият триъгълник е по-голям от другия. Той е отношението на съответните страни: ако k = 2, всяка страна на по-големия триъгълник е два пъти по-дълга. Този коефициент е ключът към всички пресмятания.

Първи признак за подобие (ъгъл-ъгъл)

Най-използваният признак: ако два триъгълника имат два съответно равни ъгъла, те са подобни. Тъй като сборът на ъглите е 180°, при два равни ъгъла и третите са равни. Затова често е достатъчно да докажем равенство само на два ъгъла, за да твърдим подобие.

Втори признак (страна-ъгъл-страна)

Друг признак: ако два триъгълника имат равен ъгъл, заключен между две пропорционални двойки страни, те са подобни. Тук комбинираме равенство на ъгъл с пропорционалност на страни. Този признак е удобен, когато знаем дължини и един общ ъгъл.

Трети признак (страна-страна-страна)

Трети признак: ако трите двойки съответни страни на два триъгълника са пропорционални, триъгълниците са подобни. Тук се опираме само на дължините. Тези три признака покриват повечето задачи: избираш този, за който имаш нужните данни.

Отношение на страните

При подобни триъгълници всички съответни страни са в едно и също отношение, равно на коефициента k. Това означава, че от една известна страна можем да намерим съответната ѝ в другия триъгълник чрез проста пропорция. Именно това прави подобието толкова полезно.

Отношение на периметрите

Тъй като всички страни се увеличават k пъти, периметърът също се увеличава k пъти. Значи отношението на периметрите на два подобни триъгълника е равно на коефициента на подобие k. Това е лесно правило, което следва направо от определението.

Отношение на лицата

Важно и леко изненадващо правило: отношението на лицата на подобни триъгълници е равно на квадрата на коефициента, тоест k². Ако единият е 3 пъти по-голям по страни, лицето му е 9 пъти по-голямо. Площта расте по-бързо от дължините.

Питагоровата теорема и подобието

Подобието е тясно свързано с други геометрични факти. От подобни триъгълници в правоъгълен триъгълник се извеждат важни съотношения (например връзката между височината към хипотенузата и отсечките по нея). Така подобието е инструмент за доказване на много други твърдения.

Измерване чрез подобие

Подобието дава мощен начин да измерваме недостъпни разстояния: височината на дърво или сграда по сянката, ширината на река. Поставяме малък известен триъгълник, който е подобен на големия, и чрез пропорция намираме търсеното. Древните учени точно така са измервали пирамидите.

Подобието в мащаба

Картите, чертежите, моделите и архитектурните планове работят на принципа на подобието: реалността е смалена с определен мащаб (коефициент). Мащаб 1:1000 означава, че 1 см на картата е 1000 см в действителност. Затова подобието е в основата на картографията и проектирането.

Защо ги учим

Подобните триъгълници са сред най-приложните геометрични знания: в архитектурата, геодезията, картографията, фотографията, изкуството (перспектива). Те ни учат да мислим пропорционално и да решаваме практични задачи за разстояния и размери, които иначе не можем да измерим пряко.

Около нас

Подобие виждаш постоянно: снимка и нейно увеличение, карта и местност, макет и сграда, сянка и предмет. Опитай да измериш височината на дърво по сянката: измери своята височина и своята сянка, после сянката на дървото, и реши пропорцията. Това е подобие на дело.

Подобие и еднаквост

Внимавай да не объркаш подобие с еднаквост. Еднаквите триъгълници имат равни и ъгли, и страни (k = 1): те са едно и също по форма и размер. Подобните имат равни ъгли, но страните им са пропорционални (k може да е различно от 1). Еднаквостта е частен случай на подобието.

Тримерно подобие

Подобието важи не само за плоски фигури, а и за тела. При подобни тела обемите се отнасят като куба на коефициента (k³). Затова, ако удвоиш размерите на тяло, обемът му става 8 пъти по-голям. Това обяснява защо големите и малките неща се държат различно в природата.

Теорема на Талес

С подобието е свързана теоремата на Талес: успоредни прави, които пресичат две други прави, отрязват по тях пропорционални отсечки. Тя е сред основните инструменти за работа с пропорции в геометрията и често стои зад доказателствата за подобие на триъгълници.

Подобие в изкуството

Художниците използват подобие, за да предадат дълбочина: далечните предмети се рисуват пропорционално по-малки. Перспективата в живописта стъпва точно на подобието. Затова геометрията на подобните фигури е свързана не само с техниката, но и с изкуството и начина, по който виждаме света.

Кратко обобщение

Подобни триъгълници имат съответно равни ъгли и пропорционални съответни страни. Коефициентът на подобие k показва колко пъти единият е по-голям. Три признака: два равни ъгъла; равен ъгъл между пропорционални страни; три пропорционални страни. Отношението на периметрите е k, а на лицата е k². Подобието служи за измерване на недостъпни разстояния, карти, модели и мащаб.