Рационалните изрази и неравенства

Дроби с букви

До сега работихме с дроби от числа. Но в алгебрата дробите могат да съдържат цели изрази с неизвестно: дори в знаменателя. Така стигаме до рационалните изрази: важна тема от девети клас, в която прилагаме всичко научено за дробите, но на по-високо ниво.

Какво е рационален израз

Рационален израз е израз, който се записва като отношение (дроб) на два многочлена: например (x + 1) ÷ (x − 2). Числителят и знаменателят са алгебрични изрази. Цялите изрази са частен случай (знаменател 1), а същинските рационални имат неизвестно и в знаменателя.

Дефиниционно множество

Най-важното правило: знаменателят не може да бъде нула (деление на нула няма смисъл). Стойностите на неизвестното, за които изразът има смисъл, образуват неговото дефиниционно множество. Затова при всеки рационален израз първо намираме кога знаменателят е нула и изключваме тези стойности.

Пример за дефиниционно множество

За израза 1 ÷ (x − 3) знаменателят е нула при x = 3. Значи изразът е определен за всяко x, различно от 3. При x = 3 изразът няма смисъл. Това проверяваме винаги в началото: то определя върху кои числа изобщо можем да работим. Пропускането му е честа грешка.

Съкращаване на дробни изрази

Рационалните дроби се съкращават, както числовите: разлагаме числителя и знаменателя на множители и махаме общите. Например (x² − 1) ÷ (x − 1) = ((x − 1)(x + 1)) ÷ (x − 1) = x + 1. Тук много помага разлагането на множители и формулите за съкратено умножение от седми клас.

Разлагане на множители

За да съкратим или сравним рационални изрази, трябва да умеем да разлагаме на множители: изнасяне на общ множител, формулите a² − b² = (a − b)(a + b), (a ± b)², и разлагане на квадратен тричлен. Това умение е ключ към цялата тема. Без него рационалните изрази са трудни.

Събиране и изваждане

Рационалните дроби се събират и изваждат като числовите: привеждаме ги към общ знаменател, после събираме или изваждаме числителите. Общият знаменател намираме чрез разлагане. Затова всичко започва пак с разлагане на множители, а после следваме правилата за дробите.

Умножение и деление

Умножението на дробни изрази е числител по числител и знаменател по знаменател (след съкращаване). Делението е умножение по обратната дроб (обръщаме втората дроб). Това са същите правила като при числовите дроби: алгебрата просто ги прилага върху изрази.

Какво е неравенство

Неравенството сравнява два израза със знаците >, <, ≥, ≤ (вместо равно). Да решиш неравенство означава да намериш всички стойности на неизвестното, които го изпълняват. За разлика от уравнението (отделни решения), неравенството обикновено има цял интервал от решения.

Рационални неравенства

Рационалното неравенство съдържа дробен израз с неизвестно в знаменателя, например (x − 1) ÷ (x + 2) > 0. То се решава по специален начин, защото знакът на дробта зависи от знаците на числителя и знаменателя. И тук пазим знаменателя да не е нула.

Метод на интервалите

Рационалните неравенства се решават с метода на интервалите: намираме нулите на числителя и знаменателя, нанасяме ги върху числовата ос, тя се разделя на интервали, и в всеки проверяваме знака на израза. После избираме интервалите, които отговарят на неравенството. Това е стройна и сигурна техника.

Правило за знака

Дробта е положителна, когато числителят и знаменателят имат еднакви знаци, и отрицателна, когато имат различни знаци. Именно това правило прилагаме в всеки интервал по метода на интервалите. То превръща сложния въпрос за знака на дробта в проста проверка на знаците.

Защо ги учим

Рационалните изрази са основа за по-нататъшната математика: функции, граници, уравнения. Те се срещат в физиката (формули със съпротивление, скорост, плътност), в икономиката и техниката. Освен това развиват прецизност: дребна грешка при знаменателя обезсмисля целия резултат.

Чести грешки

Най-честата грешка е да се забрави знаменателят да не е нула. Друга е неправилно съкращаване: може да се съкращават само множители, не събираеми. Трета е при умножение на неравенство по отрицателно число да не се обърне знакът. Внимавай с тези три капана.

Около нас

Рационални изрази стоят зад много формули: средна скорост (път ÷ време), плътност (маса ÷ обем), производителност. Опитай да опростиш проста дробна формула или да намериш кога има смисъл (знаменателят ≠ 0). После реши лесно неравенство и опиши решението като интервал върху числовата ос.

Числови и буквени дроби

Рационалните изрази се подчиняват на същите правила като числовите дроби: всичко, което знаеш за дробите от пети клас, важи и тук, само че с букви. Затова добрата основа с числовите дроби прави рационалните изрази много по-лесни. Темите в математиката се градят една върху друга.

Сложни рационални изрази

Понякога дроб съдържа друга дроб (двуетажна дроб). Опростяваме я, като извършим действията в числителя и знаменателя, после разделим. Стъпка по стъпка и най-сложният израз се подрежда. Търпението и редът са по-важни от бързината при тези задачи.

Кратко обобщение

Рационалният израз е отношение на два многочлена; знаменателят не може да е нула (дефиниционно множество). Съкращава се чрез разлагане на множители; събира и изважда се през общ знаменател; умножава и дели се като дроби. Рационалните неравенства се решават с метода на интервалите: нули на числител и знаменател → интервали → знак във всеки → избор на решенията. Правило: дробта е положителна при еднакви знаци, отрицателна при различни.