Условната вероятност: какво се променя, щом научим нещо

Метеорологът казва „70% дъжд", но щом види тъмни облаци, числото скача. Лекар тълкува един и същи тест различно според това дали си в рискова група. Това е условната вероятност: как шансът се променя, когато научим нещо ново. В единайсети клас тя е сред най-полезните теми, защото точно така разсъждаваме в реалния живот.

Какво е условна вероятност

Условната вероятност е вероятността на едно събитие при условие, че друго вече се е случило. Записва се P от A при B и се чете „вероятността за A, ако знаем, че B е настъпило". Новата информация стеснява света на възможностите: вече не гледаме всички изходи, а само тези, в които B е истина.

Формулата

Пресмятаме я така: вероятността за A при B е равна на вероятността двете да се случат заедно, делена на вероятността на B. С други думи, измерваме каква част от случаите с B съдържат и A. Пример: в един клас 60 на сто обичат математика, а 30 на сто обичат и математика, и физика. Тогава сред обичащите математика делът на тези, които обичат и физика, е 0,30 върху 0,60, тоест 0,5.

Независими събития

Понякога едно събитие изобщо не влияе на друго. Такива събития наричаме независими и за тях важи просто правило: вероятността двете да се случат заедно е произведението на отделните им вероятности. Класически пример са две монети. Шансът и двете да паднат на ези е една втора по една втора, тоест една четвърт. Първата монета не помни и не влияе на втората.

Зависими събития

Често обаче събитията се влияят. Ако теглиш две топки от торба, без да връщаш първата, вероятността за втората зависи от това какво си изтеглил. Тук условната вероятност е незаменима, защото всяка следваща стъпка променя състава на торбата. Затова при тегления без връщане винаги мислим условно.

Формулата на Бейс

Понякога знаем едното условие, а ни трябва обратното. Формулата на Бейс позволява да обърнем посоката: от вероятността за A при B да получим вероятността за B при A. Звучи абстрактно, но е невероятно мощно: точно тя стои зад спам филтрите, медицинската диагностика и съвременния изкуствен интелект.

Около нас

Условната вероятност ни пази от заблуди. Един медицински тест може да е верен в 99 на сто от случаите и все пак положителният резултат да не значи, че почти сигурно си болен, ако болестта е много рядка. Това изненадва мнозина, но е чиста математика. Който разбира условната вероятност, взема по-добри решения и не се паникьосва от подвеждащи числа.

Чести грешки

Най-честата грешка е да объркаш P от A при B с P от B при A: те невинаги са равни. Вероятността да си с температура, ако имаш грип, е голяма; но вероятността да имаш грип само защото имаш температура, е съвсем друга. Втора грешка е да приемеш, че събитията са независими, когато всъщност се влияят. Винаги се питай: променя ли едното шанса на другото?

Дървото на възможностите

Удобен начин да подредиш условните вероятности е дървото на възможностите. От началната точка тръгват клони за първото събитие, а от всеки клон, нови клони за второто. По всеки клон записваш съответната вероятност, а за да стигнеш до определен краен изход, умножаваш вероятностите по пътя. Дървото прави зависимите събития нагледни и пази от грешки, защото виждаш всички възможни развития едновременно, а не само едно. За изпит и за реална задача то е сред най-надеждните помощници.