Тригонометрията на обобщения ъгъл: завъртане по окръжността

Звукова вълна, въртящо се колело, сигнал от GPS, променлив ток: всички те се описват с едни и същи функции, тригонометричните. В по-ранните класове ги срещна в правоъгълния триъгълник, а сега, в единайсети клас, ги разширяваш до всеки ъгъл чрез единичната окръжност. Това е голяма крачка: от триъгълник към въртене.

Кратко припомняне

В правоъгълен триъгълник синусът, косинусът и тангенсът са просто отношения на страни. Синусът на остър ъгъл е срещулежащият катет върху хипотенузата; косинусът е прилежащият катет върху хипотенузата; тангенсът е отношението на двата катета. Тези определения работят добре, но само за ъгли между 0 и 90 градуса. А математиката има нужда и от по-големи ъгли.

Единичната окръжност

Решението е красиво. Чертаем окръжност с радиус 1 и център в началото на координатната система. Завъртаме една точка по нея на даден ъгъл, измерен от положителната посока. Тогава косинусът на ъгъла е първата координата на точката, а синусът е втората. Така ъгълът вече може да бъде какъвто и да е: 120 градуса, 200, дори повече от пълен оборот. Тригонометрията се освобождава от триъгълника.

Стойностите на основните ъгли

Няколко ъгъла е добре да знаеш наизуст, защото се срещат постоянно. При 0 градуса точката е най-вдясно: косинусът е 1, а синусът е 0. При 90 градуса точката е най-горе: синусът става 1, а косинусът пада до 0. При 180 градуса сме най-вляво: косинусът е минус 1, синусът е 0. А при 270 градуса сме най-долу: синусът е минус 1, а косинусът е 0. Запомниш ли движението по окръжността, тези стойности идват сами.

Знаците по четвъртините

Окръжността се дели на четири четвъртини и във всяка знаците са различни. В първата двете координати са положителни, затова и синусът, и косинусът са положителни. Във втората косинусът става отрицателен, а синусът остава положителен. В третата и двете са отрицателни, а в четвъртата косинусът пак е положителен, а синусът отрицателен. Това следва направо от посоката, в която сочи точката.

Основното тъждество

Има едно равенство, което свързва синуса и косинуса на всеки ъгъл: квадратът на синуса плюс квадратът на косинуса винаги е 1. Това не е магия, а самата теорема на Питагор, приложена в единичната окръжност, чийто радиус е 1. От него се извеждат много други тъждества и то е сред най-използваните в цялата тригонометрия.

Тангенс и котангенс

Тангенсът на ъгъл е отношението на синуса към косинуса, а котангенсът е обратното. Понеже делим, тангенсът не съществува там, където косинусът е нула, тоест при 90 и 270 градуса. Тези функции описват наклон и затова са особено полезни във физиката и техниката.

Защо ни трябва

Всичко, което се повтаря или върти, говори езика на тригонометрията. Звукът и светлината са вълни; променливият ток трепти; планетите обикалят; машините се въртят. Синусовата крива е математическият подпис на всяко такова движение. Затова тригонометрията е мост между чистата математика и почти цялата физика.

Чести грешки

Не бъркай градуси и радиани: това са две различни мерки за ъгъл и калкулаторът трябва да е в правилния режим. Внимавай и със знаците: синусът и косинусът сменят знак според четвъртината, затова косинусът на 180 градуса е минус 1, а не 1. И помни, че синусът и косинусът никога не излизат извън границите от минус 1 до 1.