Окръжността

Най-съвършената форма

Окръжността е сред най-красивите и съвършени геометрични фигури: всичките ѝ точки са на равно разстояние от центъра. Тя е навсякъде около нас: колела, часовници, орбити. В осми клас изучаваме нейните елементи и закономерности.

Какво е окръжност

Окръжността е линията, съставена от всички точки в равнината, които са на равно разстояние от една точка (центъра). Това равно разстояние е радиусът. Окръжността е линия; ограничената от нея област е кръг.

Център и радиус

Центърът е точката, от която всички точки на окръжността са еднакво отдалечени. Радиусът (r) е отсечката от центъра до точка на окръжността (и нейната дължина). Всички радиуси на една окръжност са равни.

Диаметър

Диаметърът (d) е отсечка, която минава през центъра и свързва две точки на окръжността. Той е два пъти радиуса: d = 2r. Диаметърът е най-дългата хорда и дели окръжността на две равни части.

Хорда

Хордата е отсечка, която свързва две точки на окръжността (но не минава непременно през центъра). Диаметърът е специален (най-дълъг) случай на хорда. Хордите имат интересни свойства, свързани с разстоянието им до центъра.

Дъга

Дъгата е част от самата окръжност между две точки. Една хорда дели окръжността на две дъги: по-малка и по-голяма. Дъгите се измерват в градуси (цялата окръжност е 360°). Дъгата и съответната хорда са свързани.

Допирателна

Допирателната е права, която се допира до окръжността в точно една точка. Важно свойство: допирателната е перпендикулярна на радиуса в точката на допиране. Това свойство се ползва в много задачи и построения.

Централен ъгъл

Централният ъгъл има връх в центъра на окръжността. Той „опира" на определена дъга. Важно: големината на централния ъгъл е равна на градусната мярка на дъгата, на която опира. Това свързва ъгли и дъги.

Вписан ъгъл

Вписаният ъгъл има връх на самата окръжност, а раменете му са хорди. Той също опира на дъга. Вписаните ъгли крият една от най-красивите теореми в геометрията. Да я разгледаме.

Теоремата за вписания ъгъл

Ключова теорема: вписаният ъгъл е наполовина на централния, който опира на същата дъга. Тоест ако централен ъгъл е 80°, вписан ъгъл на същата дъга е 40°. Това е една от най-полезните закономерности за окръжността.

Следствие: ъгъл над диаметър

Красиво следствие: вписан ъгъл, който опира на диаметър, е прав (90°). Затова всеки триъгълник, вписан в окръжност с една страна диаметър, е правоъгълен. Това свойство се ползва често в задачи.

Дължина на окръжността

Дължината на окръжността се пресмята по формулата C = 2πr (или πd), където π ≈ 3,14. Числото π е отношението на дължината на окръжността към диаметъра ѝ: едно от най-известните числа в математиката (ирационално).

Лице на кръга

Лицето (площта) на кръга се пресмята по формулата S = πr². Внимавай: окръжността има дължина (C = 2πr), а кръгът има лице (S = πr²). Двете формули се ползват постоянно и не бива да се бъркат.

Защо я изучаваме

Окръжността е фундаментална форма в математиката, физиката, техниката и природата (орбити, вълни, колела). Закономерностите за ъглите и отсечките ѝ са красиви и полезни. Затова окръжността е сред основните теми в геометрията.

Около нас

Окръжности има навсякъде: колелото на велосипеда, циферблатът на часовника, монетите, чиниите. Числото π се появява при всяко кръгло нещо. Когато пресмяташ обиколка или площ на нещо кръгло, ползваш формулите за окръжност и кръг.

Числото π

Числото π (пи) е едно от най-известните в математиката: отношението на дължината на всяка окръжност към диаметъра ѝ. То е ирационално (≈ 3,14159...), безкрайно и непериодично. Учените са го пресметнали до трилиони цифри, но за задачите стига π ≈ 3,14.

Сектор и сегмент

Кръгът има части: кръгов сектор (като парче пица, ограничено от два радиуса и дъга) и кръгов сегмент (отрязан от хорда). Лицето на сектора е част от лицето на кръга, пропорционална на централния ъгъл. Това е полезно при дялове и диаграми.

Взаимно положение на права и окръжност

Права спрямо окръжност може да: не я пресича; да я допира (допирателна, една обща точка); или да я пресича (секуща, две общи точки). Това зависи от разстоянието от центъра до правата спрямо радиуса. Простичко, но важно за задачите.

Вписани и описани окръжности

Около всеки триъгълник може да се опише окръжност (минаваща през върховете), а във всеки може да се впише окръжност (допираща страните). Центровете им се намират чрез прости построения. Това свързва окръжността с триъгълника.

Окръжността в природата и техниката

Окръжността е навсякъде: колелото (едно от най-великите изобретения), зъбните колела, орбитите на планетите, вълните по водата. Числото π се появява при всяко кръгло или периодично явление. Затова окръжността е фундаментална форма.

Чести грешки

Чести грешки: бъркане на дължина (C = 2πr) с лице (S = πr²); бъркане на радиус с диаметър във формулите; забравяне на квадрата при лицето. Винаги отбелязвай дали търсиш обиколка или площ и кое е дадено: радиус или диаметър.

Около нас

Окръжности виждаш постоянно: колелото, часовника, монетите, чиниите. Когато пресмяташ обиколката на кръгла маса или площта на кръгла леха, ползваш формулите C = 2πr и S = πr². Числото π мълчаливо присъства във всяко кръгло нещо около теб.

Кратко обобщение

Окръжността е линията от точките на равно разстояние (радиус r) от центъра. Диаметърът d = 2r е най-дългата хорда; хордата свързва две точки; дъгата е част от окръжността; допирателната се допира в една точка (перпендикулярна на радиуса). Централният ъгъл (връх в центъра) е равен на дъгата си; вписаният ъгъл е наполовина на централния (а над диаметър е 90°). Дължина C = 2πr; лице на кръга S = πr².