Квадратните уравнения

Една стъпка нагоре

Досега решаваше линейни уравнения (с x на първа степен). В осми клас идва ред на квадратните: в тях неизвестното е на втора степен (x²). Те са по-мощни и описват много явления в природата и техниката.

Какво е квадратно уравнение

Квадратното уравнение има общ вид ax² + bx + c = 0, където a ≠ 0. Числата a, b, c са коефициенти. Наличието на x² е това, което прави уравнението квадратно. Ако a = 0, уравнението е линейно.

Коефициентите

В ax² + bx + c = 0: a е коефициентът пред x² (водещ), b: пред x, c: свободният член. Например в 2x² − 3x + 1 = 0: a = 2, b = −3, c = 1. Правилното разпознаване на a, b, c е първата стъпка към решението.

Колко решения има

Квадратното уравнение има най-много две реални решения (корени). Може да има две, едно (двоен корен) или нито едно реално решение. Колко точно: показва специална величина, наречена дискриминанта.

Дискриминантата

Дискриминантата се бележи с D и се пресмята по формулата D = b² − 4ac. Тя е „съдникът", който решава колко корена има уравнението, още преди да ги намерим. Затова почти винаги започваме с пресмятане на D.

Какво показва дискриминантата

Според знака на D: ако D > 0: уравнението има две различни реални решения; ако D = 0: има едно (двоен корен); ако D < 0: няма реални решения. Това е едно от най-важните правила в темата.

Формулата за корените

Когато D ≥ 0, корените се намират по формулата: x = (−b ± √D) / (2a). Знакът ± дава двата корена: единия с плюс, другия с минус. Тази формула решава всяко квадратно уравнение: затова си струва да я запомниш здраво.

Как прилагаме формулата

Стъпки: 1) приведи уравнението към вида ax² + bx + c = 0; 2) определи a, b, c; 3) пресметни D = b² − 4ac; 4) ако D ≥ 0, замести във формулата и намери двата корена. Подреденото решение пести грешки.

Пример

Реши x² − 5x + 6 = 0: a=1, b=−5, c=6. D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1 > 0. x = (5 ± √1)/2 = (5 ± 1)/2. Значи x₁ = 3, x₂ = 2. Проверка: 3 и 2 наистина дават нула. Това е типичното решение.

Непълни квадратни уравнения

Когато b = 0 или c = 0, уравнението е непълно и се решава по-лесно. Например ax² + c = 0 се решава директно (изразяваме x²); ax² + bx = 0 се решава с изнасяне на x пред скоба. Не винаги е нужна голямата формула.

Когато c = 0

При ax² + bx = 0 изнасяме x: x(ax + b) = 0. Произведение е нула, когато някой множител е нула: x = 0 или ax + b = 0. Така намираме двата корена бързо, без дискриминанта.

Когато b = 0

При ax² + c = 0 изразяваме x² = −c/a и извличаме корен (ако −c/a ≥ 0). Например x² − 9 = 0 дава x² = 9, тоест x = 3 или x = −3. Внимавай: тук има два корена (плюс и минус).

Проверката

Винаги е добре да провериш корените, като ги заместиш обратно в уравнението: трябва да дадат нула. Проверката хваща грешки в пресмятането. На контролно тя е твоят предпазен колан срещу глупави грешки.

Защо ги изучаваме

Квадратните уравнения описват безброй реални ситуации: движение под действие на гравитацията, площи, оптимизация, икономика. Те са основен инструмент в математиката, физиката и инженерството. Затова владеенето им е важно за цялото следващо обучение.

Около нас

Квадратни зависимости има навсякъде: пътят на хвърлено тяло чертае парабола (квадратна функция); площта расте с квадрата на размера. Когато решаваш задача за площ или за движение, често стигаш до квадратно уравнение.

Съкратената формула

Когато коефициентът b е четен (b = 2k), има по-удобна формула с k. Тя опростява сметките и намалява грешките. Но основната формула x = (−b ± √D)/(2a) винаги работи. Затова я научи първо нея и я ползвай сигурно, преди да минеш към съкращения.

Връзката корени и коефициенти

Между корените и коефициентите има красива връзка (формули на Виет): сборът на корените е −b/a, а произведението: c/a. Това позволява бърза проверка: ако намериш x₁ и x₂, събери ги и ги умножи и сравни с коефициентите. Удобно за самопроверка.

Разлагане на множители

Когато корените са x₁ и x₂, тричленът се разлага: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Това разлагане е много полезно за опростяване на дробни изрази и за решаване на по-сложни задачи. Квадратното уравнение е ключ към разлагането.

Чести грешки

Чести грешки: грешен знак при заместване (особено при отрицателно b); забравяне да се провери знакът на D, преди да се вади корен; деление само на a вместо на 2a. Винаги пиши формулата изрично и замествай внимателно: бързината ражда грешки.

Кратко обобщение

Квадратното уравнение има вид ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Дискриминантата D = b² − 4ac показва броя на корените: D > 0 (две), D = 0 (едно), D < 0 (няма реални). Корените се намират по формулата x = (−b ± √D)/(2a). Непълните уравнения (b=0 или c=0) се решават по-лесно. Винаги проверявай решенията.