🎯Карта на знанията
7. клас · Математика

Задачи тип Европейско кенгуру за 7. клас

В Кенгуру печели не този, който смята най-дълго, а този, който чете внимателно и търси хитрата идея. Ето 15 наши задачи за 7. клас, от лесни към трудни, с решение на всяка.

Какво е Европейско кенгуру

Европейско кенгуру е национално математическо състезание, което МОН организира без такса за участие. По регламента за 2023/2024 г. то е в един кръг и се работи 90 минути. Има отделна тема за всеки клас от I до VII, тема за VIII клас и обща тема за IX-XII клас.

Темата има 26 задачи. Първите 24 са с пет възможни отговора и само един от тях е верен. Задачи 25 и 26 искат кратък отговор, който пишеш сам. Датата и правилата за всяка година ги обявява МОН.

Задачите проверяват логика и внимателно четене, а не дълги сметки. Често верният отговор се вижда с една проста идея. Учебното съдържание е от програмата на класа: за 7. клас това са многочлени и формулите за съкратено умножение, уравнения и неравенства, ъгли в триъгълник, неравенство на триъгълника, успоредник, кръгови диаграми.

Задачи с решения

15 задачи в три нива, както в състезанието: задачи 1-5 са за 3 точки, задачи 6-10 за 4 точки, а задачи 11-15 за 5 точки. Реши всяка сам, преди да отвориш решението.

  1. Два от ъглите на един триъгълник са 47° и 68°. Колко е третият ъгъл?

    • А) 65°
    • Б) 115°
    • В) 75°
    • Г) 55°
    • Д) 85°
    Виж отговора и решението

    Отговор: А) 65°

    Сборът от ъглите в триъгълник е 180°.

    Третият ъгъл е 180° - 47° - 68° = 65°. Отговорът 115° е сборът на двата дадени ъгъла.

  2. Колко е 1012 - 992?

    • А) 4
    • Б) 2
    • В) 400
    • Г) 200
    • Д) 40
    Виж отговора и решението

    Отговор: В) 400

    Използваме формулата a2 - b2 = (a - b)(a + b).

    1012 - 992 = (101 - 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400. Не е нужно да повдигаш на квадрат големите числа.

  3. От кои три отсечки може да се построи триъгълник?

    • А) 2 см, 3 см и 6 см
    • Б) 3 см, 4 см и 8 см
    • В) 4 см, 5 см и 9 см
    • Г) 1 см, 2 см и 3 см
    • Д) 5 см, 6 см и 10 см
    Виж отговора и решението

    Отговор: Д) 5 см, 6 см и 10 см

    Според неравенството на триъгълника сборът на двете по-къси страни трябва да е по-голям от най-дългата.

    • 2 + 3 = 5, а 5 < 6: не става.
    • 3 + 4 = 7, а 7 < 8: не става.
    • 4 + 5 = 9, а 9 не е по-голямо от 9: не става.
    • 1 + 2 = 3, а 3 не е по-голямо от 3: не става.
    • 5 + 6 = 11, а 11 > 10: става.

  4. Бащата е на 41 години, а синът му е на 11 години. След колко години бащата ще бъде три пъти по-възрастен от сина си?

    • А) 3
    • Б) 4
    • В) 5
    • Г) 8
    • Д) 15
    Виж отговора и решението

    Отговор: Б) 4

    След x години бащата ще е на 41 + x, а синът на 11 + x. Уравнението е 41 + x = 3(11 + x).

    41 + x = 33 + 3x, значи 8 = 2x и x = 4.

    Проверка: след 4 години бащата е на 45, синът на 15, а 45 = 3 · 15.

  5. В една анкета 40 ученици избират любим спорт. Резултатите са показани в кръгова диаграма. Секторът за футбол има ъгъл 90°. Колко ученици са избрали футбол?

    • А) 9
    • Б) 25
    • В) 36
    • Г) 10
    • Д) 90
    Виж отговора и решението

    Отговор: Г) 10

    Целият кръг е 360° и отговаря на всички 40 ученици.

    90° е 90/360 = 1/4 от кръга. 1/4 от 40 ученици са 10 ученици.

  6. На колко е равен изразът (x + 3)2 - (x - 3)2?

    • А) 18
    • Б) 12x
    • В) 6x
    • Г) 0
    • Д) 2x² + 18
    Виж отговора и решението

    Отговор: Б) 12x

    Разкриваме скобите по формулите: (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 и (x - 3)2 = x2 - 6x + 9.

    Разликата е (x2 + 6x + 9) - (x2 - 6x + 9) = 12x.

    Проверка с x = 1: 16 - 4 = 12, а 12 · 1 = 12.

  7. В успоредника ABCD ъгъл A е с 40° по-голям от ъгъл B. Колко градуса е ъгъл A?

    • А) 110°
    • Б) 70°
    • В) 140°
    • Г) 100°
    • Д) 120°
    Виж отговора и решението

    Отговор: А) 110°

    В успоредник два съседни ъгъла имат сбор 180°. Значи ъгъл A + ъгъл B = 180°.

    Ако ъгъл B е x, ъгъл A е x + 40°. Тогава 2x + 40° = 180°, x = 70°, а ъгъл A = 110°.

  8. Две от страните на равнобедрен триъгълник са 4 см и 9 см. Колко е обиколката му?

    • А) 17 см
    • Б) 26 см
    • В) 13 см
    • Г) 17 см или 22 см
    • Д) 22 см
    Виж отговора и решението

    Отговор: Д) 22 см

    Третата страна е равна на една от дадените, значи триъгълникът е 4, 4, 9 или 9, 9, 4.

    При 4, 4 и 9: 4 + 4 = 8, а 8 < 9. Такъв триъгълник няма.

    При 9, 9 и 4 всичко е наред. Обиколката е 9 + 9 + 4 = 22 см.

  9. В триъгълник ABC външният ъгъл при върха C е 130°, а ъгъл A е 55°. Колко е ъгъл B?

    • А) 50°
    • Б) 65°
    • В) 75°
    • Г) 125°
    • Д) 55°
    Виж отговора и решението

    Отговор: В) 75°

    Външният ъгъл е равен на сбора на двата вътрешни ъгъла, които не са съседни на него: 130° = ъгъл A + ъгъл B.

    Значи ъгъл B = 130° - 55° = 75°. Отговорът 50° е вътрешният ъгъл при C.

  10. Колко е 20262 - 2025 · 2027?

    • А) 0
    • Б) 2
    • В) 2025
    • Г) 1
    • Д) 4052
    Виж отговора и решението

    Отговор: Г) 1

    Записваме 2025 = 2026 - 1 и 2027 = 2026 + 1.

    2025 · 2027 = (2026 - 1)(2026 + 1) = 20262 - 1. Разликата е 20262 - (20262 - 1) = 1.

  11. Стълба с дължина 6 м е опряна на вертикална стена. Стълбата сключва със земята ъгъл 30°. На каква височина от земята е горният край на стълбата?

    • А) 2 м
    • Б) 1,5 м
    • В) 3 м
    • Г) 4 м
    • Д) 6 м
    Виж отговора и решението

    Отговор: В) 3 м

    Стената, земята и стълбата образуват правоъгълен триъгълник. Стълбата е хипотенузата, а височината е катетът срещу ъгъла 30°.

    В правоъгълен триъгълник катетът срещу ъгъл 30° е половината от хипотенузата. Височината е 6 : 2 = 3 м.

  12. Едно двуцифрено число е 4 пъти по-голямо от сбора на цифрите си. Ако разменим цифрите му, числото се увеличава с 27. Кое е числото?

    • А) 36
    • Б) 24
    • В) 48
    • Г) 12
    • Д) 63
    Виж отговора и решението

    Отговор: А) 36

    Нека числото е 10a + b. От първото условие 10a + b = 4(a + b), значи 6a = 3b и b = 2a.

    При размяна получаваме 10b + a. Разликата е (10b + a) - (10a + b) = 9(b - a) = 27, значи b - a = 3.

    От b = 2a и b - a = 3 следва a = 3, b = 6. Числото е 36. Проверка: 4 · 9 = 36 и 63 - 36 = 27.

    12, 24 и 48 изпълняват само първото условие.

  13. В триъгълник ABC ъглополовящите на ъглите A и B се пресичат в точка O. Ъгъл C е 70°. Колко градуса е ъгъл AOB?

    • А) 110°
    • Б) 125°
    • В) 135°
    • Г) 145°
    • Д) 55°
    Виж отговора и решението

    Отговор: Б) 125°

    Ъгъл A + ъгъл B = 180° - 70° = 110°. Ъглополовящите делят тези ъгли наполовина, значи в триъгълник AOB ъглите при A и B имат сбор 110° : 2 = 55°.

    Ъгъл AOB = 180° - 55° = 125°.

  14. Колко цели числа x изпълняват неравенството -3 < 2x + 1 ≤ 9?

    • А) 5
    • Б) 7
    • В) 8
    • Г) 4
    • Д) 6
    Виж отговора и решението

    Отговор: Д) 6

    Изваждаме 1 от трите части: -4 < 2x ≤ 8. Делим на 2: -2 < x ≤ 4.

    Целите числа са -1, 0, 1, 2, 3 и 4. Те са 6. Числото -2 не влиза, защото неравенството там е строго.

  15. Колко градуса е по-малкият ъгъл между стрелките на часовника в 3:40?

    • А) 120°
    • Б) 140°
    • В) 150°
    • Г) 130°
    • Д) 110°
    Виж отговора и решението

    Отговор: Г) 130°

    Минутната стрелка изминава 360° за 60 минути, тоест 6° на минута. В 3:40 тя е на 40 · 6° = 240° от 12.

    Часовата стрелка изминава 30° на час и 0,5° на минута. В 3:40 тя е на 3 · 30° + 40 · 0,5° = 110° от 12.

    Ъгълът между тях е 240° - 110° = 130°. Ако забравиш, че часовата стрелка също се движи, ще получиш 150°.

Играй задачите

Пълен пробен тест

Искаш да пробваш като на истинското състезание? Пробният тест за 7. клас има 26 нови задачи, 90 минути и точки като на Кенгуру: 3, 4 и 5 за трите нива, 100 общо. Накрая виждаш резултата, решенията и кои уроци да преговориш.

Тестът е за ученици с профил. Регистрацията е безплатна и дава един пробен тест Кенгуру на месец. С платен план решаваш колкото искаш.

Започни пробния тест за 7. клас

Как да се подготвиш

По регламента за 2023/2024 г. задачи 1-10 носят по 3 точки, задачи 11-20 по 4 точки, а задачи 21-26 по 5 точки. За грешен или непосочен отговор не се отнемат точки. Максимумът е 100 точки.

  • Опитай отговорите. Когато не знаеш откъде да почнеш, провери петте отговора един по един. Често четири от тях отпадат бързо.
  • Нарисувай. При задачи с фигури, ъгли и подреждане скицата показва решението по-бързо от думите. На състезанието получаваш листове за чернови.
  • Търси закономерност. Последна цифра на степен, дни от седмицата, повтарящи се числа: напиши първите няколко случая и виж кога се повтарят.
  • Чети въпроса до края. Много грешни отговори са верни числа на друг въпрос: цената вместо рестото, сините топки вместо червените.
  • Не стой дълго на една задача. 90 минути за 26 задачи са около 3 минути и половина на задача. Прескочи трудната и се върни към нея накрая.
  • Отговори на всичко. Щом за грешен отговор не губиш точки, избери най-вероятния, вместо да оставиш празно.

Добре е да знаеш

Кога е състезанието?

Обикновено през март. Точната дата за всяка година обявява МОН.

Отнемат ли се точки за грешен отговор?

Не. По регламента за 2023/2024 г. за грешен или непосочен отговор не се отнемат точки. Затова отговори на всяка задача.

Може ли да се ползва калкулатор?

Не. По регламента за 2023/2024 г. по време на състезанието не се използва изчислителна техника. Получаваш листове за чернова и смяташ на тях.

Колко задачи има и колко време е?

По регламента за 2023/2024 г. задачите са 26, а времето е 90 минути. 24 задачи са с пет възможни отговора, а 2 са с кратък свободен отговор.

Как се записва детето?

Родителят подава заявление за участие до директора на училището, в което учи детето. Срокът за всяка година е в регламента на МОН. Участието е без такса.